KOMBINATORIKA MAKALAH MATEMATIKA DISKRIT

TUGAS

MATEMATIKA DISKRIT

KOMBINATORIKAL

                                       

  

Disusun oleh :

Nama             : Riki Sepriyanto

NPM              : 13010241

PRODI          : TEHNIK INFORMATIKA/A5

FAKULTAS : ILMU KOMPUTER

JURUSAN TEHNIK INFORMATIKA/A5

FAKULTAS ILMU KOMPUTER

UNIVERSITAS DEHASEN BENGKULU

2014

Definisi

Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah  penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya.

TEORI KOMBINATORIAL

Teori Kombinatorial merupakan salah satu pokok bahasan Matematika Diskrit yang telah banyak dikembangkan dan diaplikasikan dalam berbagai bidang. Dalam perkembangan Matematika, dapat dilihat bahwa kajian kombinatorial sangat menarik bagi sebagian orang. Salah satu contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan kombinatorial adalah menghitung banyaknya kombinasi angka nomor polisi mobil, di mana nomor polisi terdiri atas lima angka dan diikuti dua huruf, serta angka pertama bukan nol.

Cara paling sederhana untuk menyelesaikan persolan sejenis adalah dengan mengenumerasi semua kemungkinan jawabannya. Mengenumerasi berarti mencacah atau menghitung satu per satu setiap kemungkinan jawaban. Akan tetapi enumerasi masih mungkin dilakukan jika jumlah objek sedikit, sedangkan untuk persoalan di atas, cara enumerasi jelas tidak efisien. Misalnya untuk menjawab persoalan di atas, apabila kita melakukan enumerasi, maka kemungkinan jawabannya adalah sebagai berikut:

12345AB

12345AC

12345BC

…

34567MT

34567ML

…

dan seterusnya…

Kaidah Dasar Menghitung

·        Kaidah perkalian (rule of product)

Percobaan 1: p hasil

Percobaan 2: q hasil

Percobaan 1 dan percobaan 2: p × q hasil

·        Kaidah penjumlahan (rule of sum)

Percobaan 1: p hasil

Percobaan 2: q hasil

Percobaan 1 atau percobaan 2: p + q hasil

Contoh 1.  Ketua angkatan IF  2002  hanya 1  orang (pria atau wanita,  tidak

 bias  gender).  Jumlah pria IF2002  =  65  orang dan jumlah wanita =  15  orang.  Berapa banyak cara memilih ketua angkatan?

Penyelesaian: 65 + 15 = 80 cara.

Contoh 2.  Dua orang perwakilan IF2002 mendatangai Bapak Dosen untuk protes nilai ujian. Wakil yang  dipilih 1  orang pria dan 1  orang wanita. Berapa banyak cara memilih 2 orang wakil tesrebut?

Penyelesaian: 65 × 15 = 975 cara.

Perluasan Kaidah Dasar Menghitung

Misalkan ada n percobaan,  masing masing dengan P_i hasil

1. Kaidah perkalian (rule of product)

P₁ × P₂ × … ×  P_n  hasil

2. Kaidah penjumlahan (rule of sum)

P₁ + P₂ + …  + P_n  hasil

Contoh 3.  Bit  biner hanya 0  dan 1. Berapa banyak string biner yang  dapat

dibentuk jika:

(a) panjang string 5 bit

(b) panjang string 8 bit (= 1 byte)

 Penyelesaian:

(a) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 =   2⁵     = 32 buah

(b) 2⁸ = 256 buah

Contoh 4. Berapa banyak bilangan ganjil antara 1000 dan 9999 (termasuk 1000 dan 9999 itu sendiri) yang

(a) semua angkanya berbeda

(b) boleh ada angka yang berulang.

     Penyelesaian:

(a) Posisi satuan   : 5 kemungkinan angka (1, 3, 5, 7, 9)

Posisi ribuan  : 8 kemungkinan angka

Posisi ratusan : 8 kemungkinan angka

Posisi puluhan: 7 kemungkinan angka

Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(8)(8)(7) = 2240buah.

(b) Posisi satuan    : 5 kemungkinan angka (yaitu 1, 3, 5,7 dan 9);

Posisi ribuan    : 9 kemungkinan angka (1 sampai 9)

Posisi ratusan   : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

Posisi puluhan  : 10 kemungkinan angka (0 sampai 9)

Banyak bilangan ganjil seluruhnya = (5)(9)(10)(10) = 4500

Contoh 5. Sandi-lewat (password)  sistem komputer panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka; huruf besar dan huruf kecil tidak dibedakan.  Berapa banyak sandi-lewat yang dapat dibuat?

Penyelesaian:

·        Jumlah karakter password = 26 (A-Z) + 10 (0-9) = 36 karakter.

·        Jumlah kemungkinan sandi-lewat dengan panjang 6  karakter:

          (36)(36)(36)(36)(36)(36) = 36⁶  = 2.176.782.336

·        Jumlah kemungkinan sandi-lewat dengan panjang 7 karakter:

    (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 36⁷ = 78.364.164.096

·        jumlah kemungkinan sandi-lewat dengan panjang 8 karakter:

    (36)(36)(36)(36)(36)(36)(36)(36) = 36⁸ = 2.821.109.907.456

·        Jumlah seluruh sandi-lewat (kaidah penjumlahan) adalah 2.176.782.336 + 78.364.164.096 + 2.821.109.907.456 = 2.901.650.833.888 buah.

Prinsip Inklusi-Eksklusi

Setiap  byte disusun  oleh  8-bit.  Berapa  banyak  jumlah  byte yang dimulai dengan ‘’11” atau berakhir dengan ‘’11”

 

Permutasi

 

Berapa  jumlah  urutan  berbeda  yang  mungkin  dibuat  dari  penempatan  bola

ke dalam kotak-kotak tersebut? 

 

Jumlah  kemungkinan  urutan  berbeda  dari  penempatan  b ola  ke

dalam kotak adalah (3)(2)(1) = 3! = 6.

·        Definisi: Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek.

·        Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian.

·        Misalkan jumlah objek adalah n, maka

-         urutan pertama dipilih dari n objek,

-         urutan kedua dipilih dari n – 1 objek,

-         urutan ketiga dipilih dari n – 2 objek,

-         …

-         urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa.

Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah

n(n – 1) (n – 2) … (2)(1) = n!

Contoh 6. Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “HAPUS”?

Penyelesaian:

Cara 1: (5)(4)(3)(2)(1) = 120 buah kata

Cara 2: P(5, 5)  =     5! = 120 buah kata

Permutasi

Permutasi adalah jumlah urutan yang berbeda dari pengaturan objek-objek. Permutasi merupakan bentuk khusus aplikasi kaidah perkalian.

Misalkan jumlah objek adalah n, maka

Urutan pertama dipilih dari n objek,

urutan kedua dipilih dari (n – 1) objek,

urutan kedua dipilih dari (n – 2) objek,

…

urutan terakhir dipilih dari 1 objek yang tersisa.

Menurut kaidah perkalian, permutasi dari n objek adalah n(n – 1)(n – 2) … (2)(1) = n!

Rumus permutasi-r (jumlah susunan berbeda dari pemilihan r objek yang diambil dari n objek), dilambangkan dengan P(n,r):

 

Kombinasi

Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan. Rumus kombinasi-r (jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen), dilambangkan dengan C(n,r) atau ( n   r ) .

 

Interpretasi Kombinasi

1. C(n, r) = Banyaknya himpunan bagian yang terdiri atas r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen.

2. C(n, r) = Cara memilih r buah elemen dari n elemen yang ada, tetapi urutan

                  elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting.

Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum

Misalkan terdapat n buah bola yang tidak seluruhnya berbeda warna (ada beberapa bola berwarna sama – indistinguishable).

n1 bola di antaranya berwarna 1,

n2 bola di antaranya berwarna 2,

…

nk bola di antaranya berwarna k,

dan n1 + n2 + … + nk = n.

Berapa jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut (tiap kotak maksimal 1 buah bola)?

Penyelesaian:

Jika n buah bola itu kita anggap berbeda semuanya, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah P(n, n) = n!

Dari pengaturan n buah bola itu,

Terdapat n1! cara memasukkan bola berwarna 1,

terdapat n2! cara memasukkan bola berwarna 2,

…

terdapat nk! cara memasukkan bola berwarna k.

Permutasi n buah bola yang mana n1 di antaranya berwarna 1, n2 bola berwarna 2, …, nk bola berwarna k adalah

 

Kombinasi dengan Pengulangan

Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan terdapat n buah kotak, serta ketentuan sebagai berikut:

1. Masing-masing kotak hanya boleh diisi paling banyak satu buah bola. Jumlah cara memasukkan bola adalah C(n, r).

2. Masing-masing kotak boleh diisi lebih dari satu buah bola (tidak ada pembatasan jumlah bola).

Teori Peluang  

Kombinatorial dan teori peluang (probability) berkaitan sangat erat. Teori peluang banyak menggunakan konsep-konsep dalam kombinatorial. Sebenarnya kedua bidang ini lahir dari arena judi (gambling games) – salah satu kasusnya adalah menghitung peluang munculnya nomor lotre tertentu. Meskipun demikian, aplikasi kombinatorial dan teori peluang saat ini telah meluas ke berbagai bidang ilmu lain maupun dalam kehidupan nyata seperti ilmu statistika, fisika, ekonomi, biologi, dan berbagai bidang ilmu lainnya.

                                           

Ruang Contoh (sample space)

Ruang Contoh dari suatu percobaan adalah himpunan semua kemungkinan hasil percobaan yang bersangkutan.

Titik Contoh (sample point)

Titik Contoh adalah setiap hasil percobaan di dalam ruang contoh. Hasil-hasil percobaan tersebut bersifat saling terpisah (mutually exclusive) karena dari seluruh ruang contoh, hanya satu titik contoh yang muncul.

Ruang Contoh Diskrit (discrete sample space)

Ruang Contoh Diskrit adalah ruang contoh yang jumlah anggotanya terbatas. Misalkan ruang contoh dilambangkan dengan S dan titik-titik contohnya dilambangkan dengan x1, x2, …, maka

S = { x1, x2, …, xi, … }Menyatakan ruang contoh S yang terdiri atas titik-titik contoh x1, x2, …, xi, dan seterusnya.

Peluang Diskrit

Peluang Diskrit adalah peluang terjadinya sebuah titik contoh, dan disimbolkan dengan p(xi).

Kejadian (event)

Kejadian –disimbolkan dengan E– adalah himpunan bagian dari ruang contoh. Misalnya pada percobaan melempar dadu, kejadian munculnya angka ganjil adalah E = {1,3,5}, kejadian munculnya angka 1 adalah E = {1}.

Kejadian yang hanya mengandung satu titik contoh disebut kejadian sederhana (simple event), sedangkan kejadian yang mengandung lebih dari satu titik contoh disebut kejadian majemuk (compound event).

Peluang Kejadian

Peluang Kejadian E di dalam ruang contoh S dapat diartikan sebagai jumlah peluang semua titik contoh di dalam E. Jadi, kita dapat menuliskan bahwa